Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，AB=AC．
（1）证明：DE⊥平面BCC₁
（2）设B₁C与平面BCD所成的角的大小为30°，求二面角A-BD-C．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点F，判断三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，AF⊥面 BCC₁ ，再证明ADEF为矩形，可证得DE⊥
平面BCC₁ ．
（2）设AB=AC=1，AD=x，作EH⊥DF，∠ECH为B₁C与平面BCD所成的角30°，sin30°=

1

2

=

EH

CE

，求出x的值，作AM⊥BD，连CM，则∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，由tan∠AMC=

AC

AM

=

3

2

，求得∠AMC 的大小．

解答：解：（1）证明：取BC的中点F，∵AB⊥AC，AB=AC，∴AF⊥BC．∵AA₁⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱．  AF⊥面 BCC₁ ．∵D、E分别为AA₁、B₁C的中点，
∴DA∥EF，DA=EF，故ADEF为矩形，∴AF∥DE，故 DE⊥平面BCC₁ ．
（2）设AB=AC=1，AD=x，由（1）可得 BC⊥AD，BC⊥AF，故BC⊥面ADEF，故 平面DBC⊥面ADEF．
作EH⊥DF，H为垂足，则 EH⊥平面DBC，∠ECH为B₁C与平面BCD所成的角30°，
  EH=

ED•EF

DF

=

2 2 x

( 2 2 )2+x2

=

2 x

2+4x2

． 直角三角形CEH中，sin30°=

1

2

=

EH

CE

=

2 x 2+4x2

1 2 2+(2x)2

，
∴x=

2

2

．
由题意得CA⊥面ABD，作AM⊥BD，连CM，则∠AMC为二面角A-BD-C的平面角，AM=

AD•AB

BD

=

3

3

，
tan∠AMC=

AC

AM

=

3

，∴∠AMC=

π

3

，故二面角A-BD-C的大小为 

π

3

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，求二面角的大小的方法，求出AD的长，是解题的关键，属于中档题．