Question

已知函数f(x)=2

3

cosxsinx+2sin2x(x∈R)，给出下列四个命题：
①(

π

12

，0)是函数f（x）图象的一个对称中心；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称；
⑤x∈[-

π

4

，

π

3

]时，f（x）的值域为[1-

3

，3]．
其中正确的命题为（　　）

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：化简原函数，可得最小正周期为T=π，排除A和C，由三角函数的性质和不等式可得⑤错误，综合选项可得答案．

解答：解：化简原函数可得f（x）=

3

sin2x+1-cos2x=2sin（2x-

π

6

）+1，
可得最小正周期为T=π，故②错误排除A和C
而⑤当x∈[-

π

4

，

π

3

]时，（2x-

π

6

）∈[-

2π

3

，

π

2

]，
故-2≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
∴f（x）的值域为[-1，3]．故错误，
故选D

点评：本题考查三角函数的性质，涉及函数的对称性和单调性以及值域，排除法是解决问题的关键，属中档题．