Question

20．某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）请根据图中所给数据，求出a的值；
（2）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据频率分布直方图中的数据高度与频率的关系，可得可以求解．
（2）依题意，X的可能取值是1，2，3．  利用概率知识得出P（X=1），P（X=2），P（X=3）=P（A），即可得出分布列，数学期望的值．

解答 解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得：
a=$\frac{1-（0.005+0.0075+0.0225+0.0035）×10}{10}$=0.1-0.07=0.03，
所以 a=0.03．            
（2）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05=2人，在[60，70）内的共有40×0.225=9人，
成绩在[50，70）内的学生共有11人．     
依题意，X的可能取值是1，2，3．        
P（X=1）=$\frac{{{C}_{2}^{2}C}_{9}^{1}}{{C}_{11}^{3}}$=$\frac{3}{55}$；       
P（X=2）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{9}^{2}}{{C}_{11}^{3}}$=$\frac{24}{55}$； 
P（X=3）=P（A）=$\frac{28}{55}$，P（A）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{11}^{3}}$=$\frac{28}{55}$       
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{3}{55}$	$\frac{24}{55}$	$\frac{28}{55}$

EX=×$\frac{3}{55}$$+2×\frac{24}{55}$$+3×\frac{28}{55}$=$\frac{27}{11}$．

点评 本题综合考察了离散型的概率问题，考察了学生的阅读分析问题的能力，分类讨论的数学思想，属于中档题．