Question

求经过直线x-2y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程.

(1)过原点;

(2)有最小面积.

Answer 1

思路解析：本题所求的圆都过直线和圆的交点,可以设过直线和圆交点的圆系方程,再代入相关条件即可.

解：根据条件设所求圆的方程为x²+y²+2x-4y+1+λ(x-2y+4)=0.

(1)把原点(0,0)代入所设的圆的方程可得1+4λ=0,所以λ=-.

故所求圆的方程为x²+y²+2x-4y+1-(x-2y+4)=0.

整理可得x²+y²+x-y=0.

(2)由圆的性质可知当半径最小时,圆的面积最小,因此只有当已知直线和已知圆相交截得的弦长恰好为所求圆直径时,半径最小，也即所求圆的圆心(-,λ+2)在直线x-2y+4=0上,即--2×(λ+2)+4=0.解之得λ=-.

代入可得所求圆的方程为x²+y²+2x-4y+1-(x-2y+4)=0,即x²+y²+=0.