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    如图：过抛物线y2=4x上的点A（1，2）作切线l交x轴与直线x=-4分别于D，B．动点P是抛物线y2=4x上的一点，点E在线段AP上，满足
    AE
    EP
    =λ1    ；点F在线段BP上，满足
    BF
    FP
    =λ2    ，3λ1+2λ2=15且在△ABP中，线段PD与EF交于点Q．
    （1）求点Q的轨迹方程；
    （2）若M，N是直线x=-3 上的两点，且⊙O1：（x+2）2+y2=1是△QMN的内切圆，试求△QMN面积的取值范围．
    分析：（1）切线AB：y=x+1，D（-1，0），B（-4，-3），
    BD
    =（3，3），
    DA
    =（2，2），
    BD
    =
    3
    2
    DA
    ，则
    PD
    =
    PB
    +
    3
    2
    PA
    1+
    3
    2
    =
    2
    5
    PB
    +
    3
    5
    PA
    ，由此能求出点Q的轨迹方程．
    （2）设Q（x0，y0）（x0＞-
    1
    4
    ），M（-3，m），N（-3，n），则y2=3x0+
    3
    4
    （y0≠
    3
    2
    ）．切线MQ：y-m=
    y0-m
    x0+3
    (x+3)    ，由相切可得：（x0+1）m2+2y0m-（x0+3）=0，同理（x0+1）n2+2y0n-（x0+3）=0．由此能求出△QMN面积的取值范围．
    解答：解：（1）切线AB：y=x+1，D（-1，0），
    B（-4，-3），
    BD
    =（3，3），
    DA
    =（2，2），
    BD
    =
    3
    2
    DA
    ，
    则
    PD
    =
    PB
    +
    3
    2
    PA
    1+
    3
    2
    =
    2
    5
    PB
    +
    3
    5
    PA
    ，
    令
    PQ
    =λ
    PD
    =
    2
    5
    λ
    PA

    =
    3
    5
    λ(1+λ1)
    PE
    +
    2
    5
    λ(1+λ2)
    PF
    ，
    由于E，Q，F三点共线，所以
    3
    5
    λ(1+λ1)+
    2
    5
    λ(1+λ2)=1    ，
    即λ+λ(
    3
    5
    λ1+
    2
    5
    λ2)=1    ，
    又3λ1+2λ2=15，故λ=
    1
    4
    ，Q分
    PD
    的定比为
    1
    3
    ，
    设P（x0，y0），Q（x，y），则
    x=
    3x0-1
    4
    y=
    3
    4
    y0
    ，
    故
    x0=
    4x+1
    3
    y0=
    4
    3
    y
    ，得y2=3x+
    3
    4
    （y≠
    3
    2
    ）
    （2）设Q（x0，y0）（x0＞-
    1
    4
    ），M（-3，m），N（-3，n），
    则y2=3x0+
    3
    4
    （y0≠
    3
    2
    ）
    切线MQ：y-m=
    y0-m
    x0+3
    (x+3)    ，
    由相切可得：（x0+1）m2+2y0m-（x0+3）=0，
    同理（x0+1）n2+2y0n-（x0+3）=0．
    知m，n是方程（x0+1）x2+2y0x-（x0+3）=0的两根
    故m+n= 
    -2y0
    x0+1
    ，m•n=
    -(x0+3)
    x0+1
    ，
    S△QMN=
    1
    2
    |m-n|•(x0+3)
    =
    1
    2
    		[
    12x0+3
    (x0+1)2
    +
    4x0+12
    x0+1
    ](x0+3)2
    ，
    令t=x0+1，
    则g(t)=
    (4t2+20t-9)(t+2)2
    t2
    （t≥
    3
    4
    ），
    二次求导可知g′（t）＞0，
    △QMN面积的取值范围[
    11
    		33
    12
    ，+∞)    ．
    点评：本题考查点Q的轨迹方程的求法和求△QMN面积的取值范围，具体涉及到抛物线的性质、圆的性质和直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要认真审题，仔细解答．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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    ．

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    78、如图，过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线与圆（x-1）2+y2=1于A，B，C，D四点，则|AB|•|CD|=
    1
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    AB
    •
    CD
    =
    1
    1
    ．

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