Question

有一同学在研究方程x³+x²-1=0的实数解的个数时发现，将方程等价转换为x2=

1

x+1

后，方程的解可视为函数y=x²的图象与函数y=

1

x+1

的图象交点的横坐标．结合该同学的解题启示，方程

x

|sin

π

2

x|=x-

x

的解的个数为

2

个．

Answer 1

分析：先将方程等价转化，注意函数的定义域：[1，+∞），|sin

π

2

x|≤1，构造新函数 g（x）=

x

-1-|sin

π

2

x|，考查其零点区间，进而利用导数法求解．

解答：解：由题意，x≠0时，方程

x

|sin

π

2

x|=x-

x

，可化为|sin

π

2

x|=

x

-1
定义域：[1，+∞），|sin

π

2

x|≤1，
设 g（x）=

x

-1-|sin

π

2

x|，故 x＞2时，g（x）＞0；
x=2 时，g（2）=1；g（1）=-1，故实数解仅在（1，2）内获得；
在（1，2）内，g（x）=

x

-1-sin

π

2

x，g'（x）=

1

2 x

-

π

2

cos

π

2

x＞0，（两部分全是正的）得到g（x）只有一个零点，即方程|sin

π

2

x|=

x

-1的实数解仅有一个
当x=0时，方程成立
故答案为2

点评：本题的考点是类比推理，主要考查方程解的个数，由于是超越方程，利用了函数的单调性求解，关键是问题的等价转化．