Question

（2012•成都模拟）己知函数h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的反函数的图象经过点（4，3），将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）若g（x）=f（x）+

a

x

，g（x）在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据互为反函数的两个函数的对称性得出函数h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的图象经过点（3，4），将点的坐标代入函数解析式得出m，由于h（x）=

x2-4x+m

x-2

=（x-2）+

3

x-2

，从而f（x）=h（x+2）=x+

3

x

．
（II）根据题意得出x+

3+a

x

≥8有a≥-x²+8x-3，令t（x）=-x²+8x-3，则t=-（x-4）²+13，利用t（x）在（0，3）上是增函数．求出其最大值，从而得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的反函数的图象经过点（4，3），
∴函数h（x）=

x2-4x+m

x-2

（x∈R，且x＞2）的图象经过点（3，4），
∴

32-4×3+m

3-2

=4，⇒m=7，
∴h（x）=

x2-4x+m

x-2

=（x-2）+

3

x-2

，
∴f（x）=h（x+2）=x+

3

x

． …（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=x+

3+a

x

，
∴由已知有x+

3+a

x

≥8有a≥-x²+8x-3，
令t（x）=-x²+8x-3，则t=-（x-4）²+13，于是t（x）在（0，3）上是增函数．
∴t（x）_max=12．
∴a≥12．…（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、反函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．