Question

已知，f（x）=ax-lnx，g(x)=

-f(x)

x

，a∈R．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性、极值；
（2）当a=-1时，求证：g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立；
（3）是否存在实数a，使x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入原函数，求出其导函数，即可求f（x）的单调性、极值；
（2）设h(x)=f(x)+2x+

1

2

，要使当a=-1时g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立；
即要求g（x）在（0，+∞）的最大值小于h（x）的最小值，由（1）知h（x）的最小值为

3

2

，再根据g（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）单调递减，知所以g（x）最大值为g(e)=1+

1

e

，根据1+

1

e

＜

3

2

，即可求解
（3）先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论

解答：解：（1）a=1时，f(x)=x-lnx，f′(x)=

x-1

x

(x＞0)，x＞1时，f'（x）＞0，x＜0时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，f（x）有极小值f（1）=1
（2）a=-1时，g(x)=

x+lnx

x

=1+

lnx

x

，g′(x)=

1-lnx

x2

，
设h(x)=f(x)+2x+

1

2

，则h(x)=3x-lnx+

1

2

，
由（1）知h（x）的最小值为

7

2

．
又因为g（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）单调递减，
所以g（x）最大值为g(e)=1+

1

e

＜

7

2

=h(x)min，
所以g（x₂）＜h（x₁）（x₁，x₂∈（0，+∞）
从而：g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立
（3）f/(x)=

ax-1

x

①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
②当a＞0时，f′（x）=0的根为

1

a

当 0＜

1

a

＜e时，f(x)在x∈(0，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，e)上单调递增f(x)min=f(

1

a

)=1-ln

1

a

=3，解得a=e²
③当

1

a

≥e时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
综上所述a=e^2时，使x∈（0，e]时，f（x）的最小值是3

点评：本题主要考查导数的应用．导数一般应用在求切线的斜率极其方程，求函数的单调区间以及极值，和求在某个区间上的最值问题上．导数的应用是高考考查的重点，须重视．