Question

设f(x)=2(log2x)2+2alog2

1

x

+b，已知当x=

1

2

时，f（x）有最小值-8，
（1）求a，b；
（2）满足f（x）＞0的x集合．

Answer 1

分析：（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），可得当t=

a

2

时，g（t）取得最小值．即当log2

1

2

=

a

2

时，g（t）取得最小值为 2(

a

2

)2-2a×

a

2

+b=-8．
由此求得a、b的值．
（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，解得t的范围，可得x的范围．

解答：解：（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），
故由题意可得，当t=

a

2

时，g（t）取得最小值．
故当log2

1

2

=

a

2

 时，g（t）取得最小值为 2(

a

2

)2-2a×

a

2

+b=-8．
解得a=-2，b=-6．
（2）由f（x）＞0 可得  2t²+4t-6＞0，
解得 t＜-3，或t＞1，即log₂x＜-3，或 log₂x＞1，
解得 0＜x＜

1

8

，或 x＞2，
故所求的x的集合为 {x|0＜x＜

1

8

 ，或x＞2}．

点评：本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．