Question

设有抛物线C：y=-x²+

9

2

x-4，通过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限．
（1）求k的值；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

Answer 1

（1）设点P的坐标为（x₁，y₁），则y₁=kx₁①
y₁=-x₁²+

9

2

x₁-4②
①代入②得x₁²+（k-

9

2

）x₁+4=0．
∵P为切点，
∴△=（k-

9

2

）²-16=0得k=

17

2

或k=

1

2

．
当k=

17

2

时，x₁=-2，y₁=-17．
当k=

1

2

时，x₁=2，y₁=1．
∵P在第一象限，∴所求的斜率k=

1

2

．
（2）过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5③
将③代入抛物线方程得x²-

13

2

x+9=0．
设Q点的坐标为（x₂，y₂）．则x₂+2=

13

2

∴x₂=

9

2

，y₂=-4，∴Q（

9

2

，-4）