Question

有2名老师，3名男生，4名女生照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？（写出过程，最后结果用数字表示）
（1）男生必须站在一起；
（2）女生不能相邻；
（3）若4名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站；
（4）老师不站两端，男生必须站中间．

Answer 1

分析：（1）男生必须相邻而站，把三个女生看做一个元素，则共有7个元素进行全排列，再乘以还有女生内部的一个排列．
（2）女生互不相邻，应采用女生插空法，首先要老师和男生先排列，形成6个空，再在这6个空中选4个排列女生．
（3）若4名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站，则女生的顺序只有一个，可以看做在9个位置上排列教师和男生就可以得到结果．
（4）中间的三个位置排列三个男生有A₃³种结果，在去掉两端的四个位置上选两个位置排列两名教师有A₄²种结果，余下的四个位置把四名女生全排列，共有A₄⁴种结果，相乘得到结果．

解答：解：（1）男生必须相邻而站，把三个女生看做一个元素，
则共有7个元素进行全排列，
再乘以还有女生内部的一个排列
共有A₇⁷•A₃³=30240…（3分）
（2）女生互不相邻，应采用女生插空法，
首先要老师和男生先排列，形成6个空，
再在这6个空中选4个排列女生．
根据乘法原理得到共有A₅⁵•A₆⁴=43200…（3分）
（3）若4名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站，
则女生的顺序只有一个，可以看做在9个位置上排列教师和男生就可以，
共有A₉⁵=15120…（3分） 
（4）老师不站两端，男生必须站中间
则中间的三个位置排列三个男生有A₃³种结果，
在去掉两端的四个位置上选两个位置排列两名教师有A₄²种结果，
余下的四个位置把四名女生全排列，共有A₄⁴种结果，
根据分步计数原理得到共有A₄²•A₄⁴•A₃³=1728…（4分）

点评：本题考查站队问题，这是排列组合中的典型问题，要先排限制条件多的元素，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，本题是一个中档题目．