Question

我们称离心率e=

5 -1

2

的椭圆叫做“黄金椭圆”，若

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)为黄金椭圆，以下四个命题：
（1）长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列．
（2）一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形．
（3）以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形．
（4）P、Q为椭圆上任意两点，M为PQ中点，只要PQ与OM的斜率存在，必有k_PQ•k_OM的定值．
其中正确命题的序号为

（1）（2）（3）（4）

．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率及参数a、b、c的关系即可判断出；
（20利用两点间的距离公式及（1）的距离即可得出；
（3）把x=±c代入椭圆方程即可得出四个交点的坐标，进而判断出答案；
（4）利用“差点法”及斜率计算公式即可得出．

解答：解：（1）∵离心率e=

5 -1

2

=

c

a

，不妨设a=2，c=

5

-1，则b²=a²-c²=2

5

-2=ac，∴长半轴长a，短半轴长b，半焦距c成等比数列，故正确；
（2）取A（a，0），B（0，b），焦点F（-c，0），而|BF|²+|BA|²=b²+c²+a²+b²=2a²+b²，|AF|²=（a+c）²=a²+2ac+c²=a²+2b²+c²=2a²+b²，
∴|BF|²+|BA|²=|AF|²，∴AB⊥BF，∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形，故正确；
（3）把x=c代入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

=±c．故正确．
（4）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点M（x₀，y₀），
则

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，将两式相减得

x 2 1 - x 2 2

a2

+

y 2 1 - y 2 2

b2

=0，∴

x0

a2

+

y0kPQ

b2

=0，又kOM=

y0

x0

，∴kPQ•kOM=-

b2

a2

，为定值．
综上可知：（1）（2）（3）（4）都正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评：熟练掌握椭圆的离心率及参数a、b、c的关系、两点间的距离公式、正方形的定义、“差点法”及斜率计算公式是解题的关键．