Question

【题目】已知直四棱柱的棱长均相等，且BAD=60，M是侧棱DD1的中点，N是棱C1D1上的点．

（1）求异面直线BD1和AM所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小为，，试确定点N的位置．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点与点重合．

【解析】

（1）取的中点，连结，，由直棱柱的几何特征及平面几何的知识可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出、后，利用即可得解；

（2）设，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用列方程即可得解.

的中点，连结，，

因为直四棱柱的棱长均相等，所以底面是菱形，

又，所以△ABD是正三角形，

所以，因为，所以,

在直四棱柱中，平面，平面，

所以，，

分别以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设直四棱柱的棱长均为2，

则，，，，，，

（1）所以，,

设异面直线与所成角的大小为，则

，

所以异面直线与所成角的余弦值为；

（2）因为，．

设平面的一个法向量为，

则 即，所以

取，则；

设，则，

设平面的一个法向量为，

则 即 ，所以

取，则，

则，解得，

所以当二面角的大小为时，点与点重合．