Question

15、设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_J，D_E．且D_J?D_E，若对于任意x∈D_J，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_E上的一个延拓函数．设f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）=

xln|x|

；设f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=

2^-|x|-1

．

Answer 1

分析：利用题目提供的信息，可得g（x）在D_J上的解析式，然后通过函数的奇偶性可求得其在对称区间上解析式，综合结论即可得答案．

解答：解：∵若f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数
∴当x＞0时，g（x）=f（x）=xlnx    又∵g（x）是奇函数∴当x＜0时，-x＞0∴f（-x）=（-x）ln（-x）=-xln（-x）=-f（x）
∴f（x）=xln（-x），x＜0  综上当x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，f（x）=xln|x|
若f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数∴当x≤0时，g（x）=f（x）=2^x-1∵g（x）是偶函数
∴当x＞0时，-x＜0∴g（-x）=g（x）=2^-x-1  x＞0    综上g（x）=2^-|x|-1
故答案为：xln|x；|2^-|x|-1

点评：本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，是个中档题．