Question

有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁，在其每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，上下底面不安装彩灯，假若每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．假定更换一个面需100元，用ξ表示维修一次的费用．
（1）求侧面ABB₁A₁需要维修的概率；
（2）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知侧面ABB₁A₁需要维修包括三种结果，一是五个灯中有三个不发光，二是五个灯中有4个不发光，三是五个灯中有5个不发光，这三种结果是互斥的，而每一种结果又是一个独立重复试验，由公式得到结果．
（2）由题意知这个六棱柱每一个面要维修的概率是相同的，且各个面的维修情况是相互独立的，每次试验有两个结果，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式得到结果．

解答：解：（1）由题意知侧面ABB₁A₁需要维修包括三种结果，
一是五个灯中有三个不发光，二是五个灯中有4个不发光，三是五个灯中有5个不发光，
这三种结果是互斥的，
而每一种结果又是一个独立重复试验，由公式得到
P1=

C

3 5

(

1

2

)5+

C

4 5

(

1

2

)5+

C

5 5

(

1

2

)5=

1

2

；
（2）∵由题意知这个六棱柱每一个面要维修的概率是相同的，
且各个面的维修情况是相互独立的，
∴ξ～B(6，

1

2

)
根据二项分布的公式得到
P6(0)=

1

64

，P6(1)=

3

32

，P6(2)=

15

64

，P6(3)=

5

16

，
P6(4)=

15

64

，P6(5)=

3

32

，P6(6)=

1

64

．
Eξ=100×6×

1

2

=300（元）．

点评：二项分布要满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中实件发生的次数．