【题目】为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图),渠宽为4m,渠深为2m.
(1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠(如图(1)建立平面直角坐标系),新水渠底面与地面平行(不改变渠宽),问新水渠底宽为多少时,所填土的土方量最少?
(2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠(如图(2)建立平面直角坐标系),使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.
【答案】(1);(2)改挖后的水渠的底宽为
时,可使挖土的土方量最少
【解析】试题分析:(1)建立坐标系,设拋物线的方程为,由已知点
在抛物线上,推导出拋物线的方程,可得梯形
面积,利用导数可得结论;(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与拋物线相切,设切点
,则函数在点
的切线方程为
,由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为
时,可使用权所挖土的土方星最少.
试题解析:建立如图所示的直角坐标系,
设抛物线的方程为,由已知点
在抛物线上,得
,所以抛物线的方程为
.
(1)为了使填入的土最少,内接等腰梯形的面积要最大,如图1,设点,则此时梯形APQB的面积
,
∴,令
,得
,
当时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减,
所以当时,
有最大值
,改挖后的水渠的底宽为
m时,可使填土的土方量最少.
(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图2,设切点,则函数在点M处的切线方程为
,分别令
得
,所以此时梯形OABC的面积
,当且仅当
时,等号成立,此时
.所以设计改挖后的水渠的底宽为
m时,可使挖土的土方量最少.
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【题目】若实数数列满足
,则称数列
为“
数列”.
(Ⅰ)若数列是
数列,且
,求
,
的值;
(Ⅱ)求证:若数列是
数列,则
的项不可能全是正数,也不可能全是负数;
(Ⅲ)若数列为
数列,且
中不含值为零的项,记
前
项中值为负数的项的个数为
,求
所有可能取值.
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【题目】已知函数,函数
的导函数为
.
⑴ 若直线与曲线
恒相切于同一定点,求
的方程;
⑵ 若,求证:当
时,
恒成立;
⑶ 若当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽率,得到如下表格:
(1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“
均不小于25” 的概率;
(2)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠?
参考公式: ,
.
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【题目】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为的直线
与以原点为圆心,半径为
的圆交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,且
,当
取得最小值时,求直线
的方程.
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤.
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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