Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{m，1}），\overrightarrow b=（{1，n-2}），（{m＞0，n＞0}）$若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$+2
• D． 2$\sqrt{2}$+3

Answer 1

分析 $\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，解得m+n=2．（m，n＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=m+n-2=0，解得m+n=2．（m，n＞0）．
则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=$\frac{1}{2}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{n}{m}+\frac{2m}{n}）$≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}）$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，当且仅当n=$\sqrt{2}$m=4-2$\sqrt{2}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．