Question

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左边xⁿ的系数为

C

n2n

，而右边(1+x)n(1+x)n=(

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn)(

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn)，xⁿ的系数为

C

0n

C

nn

+

C

1n

C

n-1n

+

C

2n

C

n-2n

+…+

C

nn

C

0n

=(

C

0n

)2+(

C

1n

)2+(

C

2n

)2+…+(

C

nn

)2，由（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ恒成立，可得(

C

0n

)2+(

C

1n

)2+(

C

2n

)2+…+(

C

nn

)2=

C

n2n

．
利用上述方法，化简(

C

02n

)2-(

C

12n

)2+(

C

22n

)2-(

C

32n

)2+…+(

C

2n2n

)2=______．

Answer 1

根据题意，构造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，
由等式的左边可得x²ⁿ的系数为C_2n²ⁿ•（-1）²ⁿC_2n⁰+C_2n^2n-1•（-1）^2n-1C_2n¹+C_2n^2n-2•（-1）^2n-2C_2n²+…+C_2n⁰•（-1）⁰C_2n²ⁿ，
即（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²，
由右等式的右端可得 x²ⁿ的系数为（-1）ⁿC_2nⁿ，
故有（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ，
故答案为（-1）ⁿC_2nⁿ．