Question

设两非零向量e₁和e₂不共线．
（1）如果

AB

=e₁+e₂，

BC

=2e₁+8e₂，

CD

=3（e₁-e₂），求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线；
（3）若|e₁|=2，|e₂|=3，e₁与e₂的夹角为60°，试确定k的值，使ke₁+e₂与e₁+ke₂垂直．

Answer 1

分析：（1）先证明

AB

∥

AD

，再根据有公共点原理，证明三点共线
（2）ke₁+e₂和e₁+ke₂共线，运用实数λ，使得ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），即可求出
（3）运用向量数量积公式计算：由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，解出K的值

解答：解：（1）证明：

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=6（e₁+e₂）=6

AB

，
∴

AB

∥

AD

，

AB

与

AD

有公共点A．
∴A、B、D三点共线．
（2）∵ke₁+e₂和e₁+ke₂共线，
∴存在λ使ke₁+e₂=λ（e₁+ke₂），
即（k-λ）e₁+（1-λk）e₂=0．
∵e₁与e₂为非零不共线向量，
∴k-λ=0且1-λk=0．
∴k=±1．

（3）由（ke₁+e₂）•（e₁+ke₂）=0，
k|e₁|²+（k²+1）e₁•e₂+k|e₂|²=0，得
k×2²+（k²+1）×2×3×cos60°+k×3²=0
?4k+3k²+3+9k=0?3k²+13k+3=0，
∴k=

-13± 133

6

．

点评：此题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题