如图,半径是1且圆心角为120°的扇形中,点A、B是扇形的两个端点,线段PQ是一条平行于弦AB的动弦,以PQ为一边作该扇形的一个内接矩形MNQP,将矩形MNQP面积记为S.试确定当P点在什么位置时,S取得最大,最大值是多少?
解:连接OP,设∠AOP=θ,则θ∈(0°,120°),
过点O作OH⊥MN于H,则H是MN的中点,(2分)
在△OMP中,由正弦定理有
所以
①(5分)
,
所以在直角△OMH中,HM=OMsin60°=sin(60°-θ)
所以MN=2HM=2sin(60°-θ)②(8分)
所以由①②得:
(10分)
=
=
(13分)
因为θ∈(0°,120°),所以当2θ+30°=90°,
即θ=30°时
,(15分)
即
的长是
的长的
时(或说成当∠AOP=30°时),
S取得最大值
.(16分)
分析:要用三角函数解决问题,首先构造三角形即连接op,然后设出角∠AOP=θ,并过O作OH⊥MN于H,能推出H是MN的中点.然后在△OPM中,利用正弦定理得到MP,而MN=2HM,进而得到MN,利用三角形面积法求出S.利用三角函数变换公式得到正弦函数,最后求出正弦函数最大值即可.
点评:此题考查正弦函数最值问题,学生的构造能力及三角函数的变换能力,解决实际问题的能力.
练习册系列答案
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如图,BC是单位圆(即半径为1的圆)圆A的一条直径,F是线段AB上的一点,且
=2,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则
• 的值是( )
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如图,已知圆O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,
,点P是半圆上的动点,以
为边作等边三角形
,且点D与圆心分别在
的两侧.
(1) 若
,试将四边形
的面积
表示成
的函数;
(2) 求四边形
的面积的最大值.
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如图,BC是单位圆(即半径为1的圆)圆A的一条直径,F是线段AB上的一点,且
,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.不确定
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如图,BC是单位圆(即半径为1的圆)圆A的一条直径,F是线段AB上的一点,且
,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.不确定
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