精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图,半径是1且圆心角为120°的扇形中,点A、B是扇形的两个端点,线段PQ是一条平行于弦AB的动弦,以PQ为一边作该扇形的一个内接矩形MNQP,将矩形MNQP面积记为S.试确定当P点在什么位置时,S取得最大,最大值是多少?

解:连接OP,设∠AOP=θ,则θ∈(0°,120°),
过点O作OH⊥MN于H,则H是MN的中点,(2分)
在△OMP中,由正弦定理有
所以①(5分)

所以在直角△OMH中,HM=OMsin60°=sin(60°-θ)
所以MN=2HM=2sin(60°-θ)②(8分)
所以由①②得:(10分)
=
=(13分)
因为θ∈(0°,120°),所以当2θ+30°=90°,
即θ=30°时,(15分)
的长是的长的时(或说成当∠AOP=30°时),
S取得最大值.(16分)
分析:要用三角函数解决问题,首先构造三角形即连接op,然后设出角∠AOP=θ,并过O作OH⊥MN于H,能推出H是MN的中点.然后在△OPM中,利用正弦定理得到MP,而MN=2HM,进而得到MN,利用三角形面积法求出S.利用三角函数变换公式得到正弦函数,最后求出正弦函数最大值即可.
点评:此题考查正弦函数最值问题,学生的构造能力及三角函数的变换能力,解决实际问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,BC是单位圆(即半径为1的圆)圆A的一条直径,F是线段AB上的一点,且
BF
=2
FA
,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则
FD
FE
 的值是(  )
A、-
3
4
B、-
8
9
C、-
1
4
D、不确定

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:陕西省模拟题 题型:解答题

如图,已知圆O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,,点P是半圆上的动点,以为边作等边三角形,且点D与圆心分别在的两侧.
(1) 若,试将四边形的面积表示成的函数; 
 (2) 求四边形的面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:陕西省模拟题 题型:解答题

如图,已知的半径是1,点在直径AB的延长线上, BC=1, 点P上半圆上的动点, 以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.
(Ⅰ) 若,试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数;  
(Ⅱ) 求四边形OPDC的面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年湖北省武汉二中高一(下)期末数学试卷(解析版) 题型:选择题

如图,BC是单位圆(即半径为1的圆)圆A的一条直径,F是线段AB上的一点,且,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则 的值是( )
A.
B.
C.
D.不确定

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年山东省济宁市嘉祥一中高三(下)段考数学试卷(文科)(解析版) 题型:选择题

如图,BC是单位圆(即半径为1的圆)圆A的一条直径,F是线段AB上的一点,且,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径,则 的值是( )
A.
B.
C.
D.不确定

查看答案和解析>>

同步练习册答案