【题目】函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
【答案】(1)a≥1时,在(-,+)是增函数;0<a<1时, f(x)在(-,x2),(x1,+)上是增函数;f(x)在(x2,x1)上是减函数;(2)
【解析】
试题(1)首先求出函数的导数,然后求出使或的解集即可.
(2)分类讨论在区间(1,2)上使成立的条件,并求出参数a的取值范围即可
试题解析:(1),的判别式△=36(1-a).
(i)若a≥1,则,且当且仅当a=1,x=-1,故此时f(x)在R上是增函数.
(ii)由于a≠0,故当a<1时,有两个根:,
若0<a<1,则当x∈(-,x2)或x∈(x1,+)时,,故f(x)在(-,x2),(x1,+)上是增函数;
当x∈(x2,x1)时,,故f(x)在(x2,x1)上是减函数;
(2)当a>0,x>0时,,所以当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.
若a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当且,解得.
综上,a的取值范围是.
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【题目】2020年寒假是特殊的寒假,因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11∶13,其中男生30人对于线上教育满意,女生中有15名表示对线上教育不满意.
(1)完成列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;
满意 | 不满意 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 | 120 |
(2)从被调查中对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的个数为,求出的分布列及期望值.
参考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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【题目】某便利店每天以每件5元的价格购进若干鲜奶,然后以每件10元价格出售,如果当天卖不完,剩下的鲜奶作餐厨垃圾处理.便利店记录了100天这种鲜奶的日需求量(单位:件)如表所示:
日需求量n(件) | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 12 | 11 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(1)若便利店一天购进160件这种鲜奶,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;
(2)若便利店一天购进160件或170件这种鲜奶,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应购进160件还是170件?请说明理由.
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【题目】已知函数,函数g(x)=2﹣f(﹣x).
(1)判断函数g(x)的奇偶性;
(2)若x∈(﹣1,0),
①求f(x)的值域;
②g(x)<tf(x)恒成立,求实数t的最大值.
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【题目】如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,垂直于底面,.
(1)求证;
(2)求平面与平面所成二面角的大小;
(3)设棱的中点为,求异面直线与所成角的大小.
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【题目】博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则( )
A. P1P2= B. P1=P2= C. P1+P2= D. P1<P2
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【题目】为了迎接2000年的到来,某地组织了一次乒乓球迎春幸运赛.首先,通过身份号抽选出2000名选手,编号为1,2,…,2000,他们当中任两人都可以组成一对双打选手,每对选手的编号之和称为他们的“和号”.规定:“和号”相同的两对选手方有资格进行幸运双打赛.比赛开始前,组委会首先从2000个编号中随机抽出65名幸运选手,然后找出“和号”相同的两对选手进行幸运双打赛(凡同一“和号”的选手分在同一区进行单循环).求证:无论怎样抽选,总有选手进行幸运赛.
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