Question

已知锐角三角形ABC中，定义向量

m

=（sinB，-

3

），

n

=（cos2B，4cos²

B

2

-2），且

m

∥

n

（1）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线的坐标等价条件，以及三角形是锐角三角形求出角B的值，由两角差的正弦公式对函数解析式进行整理，再由正弦函数的单调性求出原函数的单调区间；
（2）由（1）和余弦定理列出关于a和c式子，再由a+c≥2

ac

将方程转化为不等式，求出ac的最大值，再代入三角形的面积公式求出面积的最大值．

解答：解：（1）由题意知，

m

=（sinB，-

3

），

n

=（cos2B，4cos²

B

2

-2），

m

∥

n

，
∴sinB（4cos²

B

2

-2）-（-

3

）cos2B=0，2sin（2B+

π

3

）=0
由于是锐角三角形，故B=

π

3

，
∴f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-

π

3

），
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈z）解得，

π

12

+kπ≤x≤

π

2

+kπ（k∈z），
∴函数的单调减区间是[

π

12

+kπ，

π

2

+kπ]（k∈z）；
（2）由（1）知，B=

π

3

，
根据余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，即1=（a+c）²-2ac-ac，
∴（a+c）²=1+3ac，当且仅当a=c时等号成立；
∵（a+c）²≥4ac，∴1+3ac≥4ac，
∴ac≤1，当且仅当a=c时等号成立，
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

4

，
∴△ABC的面积的最大值为

3

4

．

点评：本题是有关向量和三角函数的综合题，涉及了向量共线的坐标等价条件，两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，余弦定理以及基本不等式等，考查知识全面、综合，考查了分析问题、解决问题的能力和转化思想．