Question

【题目】如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．

（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．

（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明AB∥平面PCD，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB∥l；

（2）以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量和直线AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ与平面PCD所成角的正弦值即可．

（1）证明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD．

∴AB∥平面PCD，

∵AB平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，

∴AB∥l；

（2）∵底面是菱形，E为BC的中点，且AB=2，

∴，

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，

∴，，

设平面PCD的法向量为，有，，得，

设，则，

再设，

则，解之得，∴，

设直线AQ与平面PCD所成角为α，

则，

∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为．