Question

设抛物线M方程为y²=2px（p＞0），其焦点为F，P（a，b）（a≠0）为直线y=x与抛物线M的一个交点，|PF|=5
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，使得△QAB为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立方程组可求得P坐标，根据|PF|=5及抛物线定义即可求得p值；
（2）①当直线l的斜率不存在时易验证不合题意；②当直线存在斜率时设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立方程组消y后可求AB中点M坐标，设存在Q（-1，m），由K_AB•K_QM=-1，Q到直线l的距离为d=

3

2

|AB|，联立即可解得k，m值，从而可判断存在性；

解答：解：（1）

y=x y2=2px

⇒

x=2p y=2p

或

x=0 y=0

（舍去），
∴P（2p，2p），
∵|PF|=5，∴2p+

p

2

=5，解得p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（2）①若直线l的斜率不存在，则Q只可能为（-1，0），此时△QAB不是等边三角形，舍去；
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0，x₁+x₂=2+

4

k2

，
设存在Q（-1，m），AB的中点为M（1+

2

k2

，

2

k

），设Q到直线l的距离为d，
有题意可知：

2 k -m

2 k2 +2

=-

1

k

①，d=

3

2

|AB|⇒

|2k+m|

k2+1

=

3

2

|4+

4

k2

|②，
由①可得：m=

2

k3

+

4

k

，③
③代入②得：（2k+

2

k3

+

4

k

）²=（k²+1）•

3

4

•

16(k2+1)2

k4

，
化简得：

4(k2+1)4

k6

=12•

(k2+1)3

k4

⇒k²=

1

2

，
将k=±

2

2

代入③得m=±8

2

，
∴Q（-1，±8

2

）为所求点．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是充分利用正三角形的性质列方程组．