Question

（08年新建二中模拟）如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC = 90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE = AB = 2，CD = 1，点F是AE的中点．
　　(1)求证：DF∥平面ABC；
    (2)求AB与平面BDF所成角的大小．

 

 

 

Answer 1

解析：(1)解：取AB的中点G，连CG，FG，
    则FG∥BE，且FG＝BE，
    ∴ FG∥CD且FG＝CD，        2分
    ∴ 四边形FGCD是平行四边形，
    ∴ DF∥CG，
    又∵ CG平面ABC，
    ∴DF∥平面ABC                4分

(2)解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则
B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，2，1)，E(0，0，2)，F(1，0，1)
    ∴ (0，2，1)，(1，－2，0)                                                                                6分
    设平面BDF的一个法向量为n = (2，a，b)，
    ∵ n⊥，n⊥， ∴                                                                               8分
    即，解得，
    ∴n =(2，1，－2)                                                                                                                               10分
   又设AB与平面BDF所成的角为，则法线n与所成的角为，
   ∴ ，
   即 ，故AB与平面BDF所成的角为arcsin．                                                  12分