Question

（09年湖北补习学校联考理）（14分）在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为.

（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.

 （Ⅱ）过点A作直线与(Ⅰ)中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合.

Answer 1

解析：（Ⅰ） 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，

设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，

所以焦距 2c=|AB|=6. ...................................................2分

 因为

又 ，所以 ，

由题意得 ...........................................4分

此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).

所以C点的轨迹方程为   .............................6分

（Ⅱ）不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

(1)当直线MN的倾斜角不为90⁰时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 .......................................7分

显然有 △≥0， 所以

而由椭圆第二定义可得

                                            ......................... 10分

只要考虑 的最小值，即考虑取最小值，显然.

当k=0时，取最小值16. .................................12分

(2)当直线MN的倾斜角为90⁰时，x₁=x₂=-3,得 .....12分

但 ，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集............................................................14分