Question

11．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；
（2）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD．
（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的余弦值．

解答 解：（1）垂直．
证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．（6分）
（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），$B（\sqrt{3}，-1，0）$，$C（\sqrt{3}，1，0）$，D（0，2，0），P（0，0，2），$E（\sqrt{3}，0，0）$，$F（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1）$，
所以$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{3}，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，1）$．
设平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}}\right.$，
因此$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x_1}=0}\\{\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取z₁=-1，则$\overrightarrow m=（0，2，-1）$．（9分）
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故$\overrightarrow{BD}$为平面AFC的一个法向量．
又$\overrightarrow{BD}=（-\sqrt{3}，3，0）$，所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{BD}＞=\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{BD}}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow{BD}}|}}=\frac{2×3}{{\sqrt{5}×\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（11分）
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．