Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AO⊥平面BCD，CA=CB=CD=BD=2．
（1）求证：面ABD⊥面AOC；
（2）求异面直线AE与CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由于AO⊥平面BCD，利用线面垂直的性质可得AO⊥BD．由于CB=CD，O是BD的中点，利用等腰三角形的性质可得CO⊥BD．利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AOC．再利用面面垂直的判定定理即可得出平面ABD⊥平面AOC．
（2）连接OE，利用三角形的中位线定理可得：OE∥CD．即可得出∠AEO异面直线AE与CD所成角．
在Rt△AOE中，即可得出．

解答：解：（1）∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD．
∵CB=CD，O是BD的中点，
∴CO⊥BD．
又∵AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC．
∴平面ABD⊥平面AOC．
（2）连接OE，则OE∥CD，
∴∠AEO即为异面直线AE与CD所成角．
在Rt△AOE中，
∵OE=1，AO=1，
∴∠AEO=45°
∴异面直线AE与CD所成角为45°．

点评：本题考查了线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质、异面直线所成的角，属于中档题．