已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与=(3,-1)共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M为椭圆上任意一点,且(),证明为定值.
(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)设椭圆方程为,直线AB:y=x-c,
联立消去y可得:,
令A(),B (),
则,,
向量=(,), 与向量=(3,-1)共线,
所以3()+()=0,
即3(-2c)+()=0,
4()-6c=0,
化简得:,
所以离心率为=。
(2)椭圆即: ①
设向量=(x,y),=(),=()
(x,y)=λ()+μ()
即:x=,y=
M在椭圆上,把坐标代入椭圆方程① 得 ②
直线AB的方程与椭圆方程联立得,由(1)
已证,所以
所以=,=,
而A,B在椭圆上 ,
全部代入②整理可得 为定值。
考点:本题主要考查向量共线的条件,直线与椭圆的位置关系。
点评:典型题,涉及直线与椭圆的位置关系问题,通过联立方程组得到一元二次方程,应用韦达定理可实现整体代换,简化解题过程。
科目:高中数学 来源: 题型:
OA |
OB |
a |
OM |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
a2 | c |
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OA |
OB |
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A、
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B、
| ||||
C、
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D、
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