Question

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且

BP

•

BA

=0，点C满足

AC

=2

BA

，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且

DM

•

DN

＞0，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出点A、B、C的坐标，然后根据且

BP

•

BA

=0，点C满足

AC

=2

BA

建立方程组，解之即可求出曲线E的方程；
（2）设直线l方程为y=k（x-1），然后根据曲线联立方程组，根据直线l交曲线E于不同的两点M、N则△＞0求出k的范围，然后设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则

DM

=（x₁+1，y₁）

DN

=（x₂+1，y₂），根据

DM

•

DN

＞0建立不等式，解之即可．

解答：解：（1）设A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）
则

AC

=（x-a，y），

BA

=（a，-b），

BP

=（3，-b）
∵

BP

•

BA

=0，

AC

=2

BA

∴

3a+b2=0 x-a=2a y=-2b

（4分）
消去a，b得y²=-4x∵a＜0∴x=3a＜0
故曲线E的方程为y²=-4x（x＜0）（6分）
（2）设直线l方程为y=k（x-1）（7分）
由

y=k(x-1) y2=-4x

得k²x²-2（k²-2）x+k²=0（8分）
∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△＞0
即△=4（k²-2）²-4k²k²＞0∴k²＜1①（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则

DM

=（x₁+1，y₁）

DN

=（x₂+1，y₂）
∴

x1+x2= 2(k2-2) k2 x1x2=1

∴

DM

•

DN

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=

8k2-4

k2

＞0
解得k²＞

1

2

②（11分）
由①②联立解得：

1

2

＜k²＜1
∴-1＜k＜-

2

2

或

2

2

＜k＜1（12分）

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查了计算能力，函数与方程的思想，属于一道综合题．