Question

（2013•杨浦区一模）设数列{x_n}满足x_n≠1且（n∈N^*），前n项和为S_n．已知点p₁（x₁，S₁），P₂（x₂，s₂），…P_n（x_n，s_n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k≠1，b≠0），又y_n=log

1

2

 xn．
（1）求证：数列{x_n]是等比数列；
（2）若y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t、s∈N^*，s≠t使得点（t，y_t）和点（s，y_t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+1-S_n着手考虑，把点P_n、P_n+1的坐标代入直线y=kx+b，然后两式相减得x_n+1与x_n的关系式，即可得到结论；（2）由（1）知{x_n}是等比数列，则根据条件消去y_n得x_n与n的关系式，此时与等比数列通项x_n=x₁q^n-1相比较，易得x₁与q，进而可求得k与b．
（3）由{x_n}是等比数列且y_n=log_0.5x_n可得数列{y_n}为等差数列；当n＞M时，x_n＞1恒成立问题应利用y_n=log_0.5x_n转化为y_n＜0恒成立的问题，列不等式组，解出M，即可得到结论．

解答：（1）证明：∵点P_n（x_n，S_n），P_n+1（x_n+1，S_n+1）都在直线y=kx+b上，
∴S_n=kx_n+b，S_n+1=kx_n+1+b
两式相减得S_n+1-S_n=kx_n+1-kx_n，即x_n+1=kx_n+1-kx_n，
∵常数k≠0，且k≠1，∴

xn+1

xn

=

k

k-1

（非零常数）
∴数列{x_n]是等比数列；
（2）解：由y_n=log_0.5x_n，得x_n=（

1

2

）^y_n=8^n-6，
∴

k

k-1

=8，得k=

8

7

．
又P_n在直线上，得S_n=kx_n+b，
令n=1得b=S₁-

8

7

x₁=-

1

7

x₁=-

8-5

7

；
（3）解：∵y_n=log_0.5x_n，∴当n＞M时，x_n＞1恒成立等价于y_n＜0恒成立．
∵存在t，s∈N^*，使得（t，y_s）和（s，y_t）都在y=2x+1上，
∴y_s=2t+1 ①，y_t=2s+1 ②．
①-②得：y_s-y_t=2（t-s），
∵s≠t，∴{y_n}是公差d=-2＜0的等差数列
①+②得：y_s+y_t=2（t+s）+2，
又y_s+y_t=y₁+（s-1）•（-2）+y₁+（t-1）•（-2）=2y₁-2（s+t）+4
由2y₁-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y₁=2（t+s）-1＞0，
即：数列{y_n}是首项为正，公差为负的等差数列，
所以一定存在一个最小自然数M，使

yM≥0 yM+1＜0

，即

2(s+t)-1+(M-1)•(-2)≥0 2(s+t)-1+M•(-2)＜0

 解得t+s-

1

2

＜M≤t+s+

1

2

．
∵M∈N^*，∴M=t+s．
即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．

点评：本题考查等比数列的证明，考查等差数列，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．