Question

如图，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）当四棱锥A'-BCDE体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取A'C的中点G，连结DG、EF、GF．运用中位线定理证出四边形DEFG是平行四边形，从而得到EF∥DG，结合线面平行的判定定理，即可证出EF∥平面A'CD．因此可得当F为棱A'B的中点时，EF∥平面A′CD；
（II）在平面A′CD内作A'H⊥CD于点H，利用线面垂直的判定与性质，证出A'H⊥底面BCDE，从而得到点H和D重合时，四棱锥A'-BCDE体积取最大值．然后以DC、DE、DA'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，给出A'、B、E的坐标，从而算出、的坐标，利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出=（-，1，1）是平面A'BE的一个法向量；同理解出平面A'CD的一个法向量=（0，1，0）．最后利用空间向量的夹角公式算出夹角的余弦值，结合图形即可得到四棱锥A'-BCDE体积取最大值时平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．
解答：解：（I）当F为棱A'B的中点时，EF∥平面A′CD．证明如下：
取A'C的中点G，连结DG、EF、GF，则
由中位线定理得DE∥BC、DE=BC，且F∥BC、GF=BC．
∴DE∥GF且DE=GF，可得四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG
∵EF?平面A'CD，DG?平面A'CD，∴EF∥平面A′CD
因此，当F为棱A'B的中点时，EF∥平面A′CD．----（4分）
（II）在平面A′CD内作A'H⊥CD于点H，
∵DE⊥A'D，DE⊥CD，且A'D∩CD=D
∴DE⊥平面A'CD，可得A'H⊥DE，
又∵DE∩CD=D，∴A'H⊥底面BCDE，即A'H就是四棱锥A'-BCDE的高．
由A'H≤AD，得点H和D重合时，四棱锥A'-BCDE体积取最大值．--（8分）
分别以DC、DE、DA'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则A'（0，0，a），B（a，2a，0），E（0，a，0），
∴=（a，2a，-a），=（0，a，-a），
设平面A'BE的一个法向量为=（x，y，z），
由得
取y=1，得x=-1，z=1．得到=（-，1，1），
同理，可求得平面A'CD的一个法向量=（0，1，0）
∴cos===
故平面A'CD与平面A'BE夹角的余弦值为
综上所述，四棱锥A'-BCDE体积取最大值时，平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值等于----（12分）
点评：本题给出平面图形的折叠，求证线面平行并求四棱锥A'-BCDE体积取最大值时，平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．着重考查了三角形中位线定理、线面平行的判定定理和利用空间向量的方法研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．