Question

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0．
（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P的坐标为（x，y），由(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0，得|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，由此能判断P点在双曲线上，并能求出其方程．
（2）设A，B点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

y=kx+1 x2 4 - y2 12 =1

得：（3-k²）x²-2kx-13=0，然后利用韦达定理和根的判别式能推导出-

13

2

＜k＜

13

2

．再由以AB为直径的圆过D（0，-2），得

y1+2

x1

•

y2+2

x2

=-1，所以(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0⇒(k2+1)(-

13

3-k2

)+3k•

2k

3-k2

+9=0，由此能够导出存在k值为±

14

4

．

解答：解：（1）设P的坐标为（x，y），由(

PC

+2

PQ

)•(

PC

-2

PQ

)=0
得|

PC

|2-4|

PQ

|2=0，
∴（x-4）²+y²-4（x-1）²=0，…（3分）
化简得

x2

4

-

y2

12

=1．
∴P点在双曲线上，其方程为

x2

4

-

y2

12

=1．…（4分）
（2）设A，B点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2 4 - y2 12 =1

得：（3-k²）x²-2kx-13=0，…（6分）
∴x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=-

13

3-k2

，
∵AB与双曲线交于两点，
∴△＞0，即4k²-4（3-k²）（-13）＞0，
解得-

13

2

＜k＜

13

2

．…（8分）
∵若以AB为直径的圆过D（0，-2），则AD⊥BD，
∴k_AD•k_BD=-1，…（10分）
即

y1+2

x1

•

y2+2

x2

=-1，
∴（y₁+2）（y₂+2）+x₁x₂=0⇒（kx₁+3）（kx₂+3）+x₁x₂=0
∴(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=0⇒(k2+1)(-

13

3-k2

)+3k•

2k

3-k2

+9=0
解得k2=

7

8

，∴k=±

14

4

∈(-

13

2

，

13

2

)，故存在k值为±

14

4

．…（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．