如图,在三棱锥中,底面,,为的中点, 为的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求与平面成角的正弦值;
(3)设点在线段上,且,平面,求实数的值.
(1)详见解析;(2);(3).
解析试题分析:(1)求证:平面,证明线面垂直,先证线线垂直,即证线和平面内两条相交直线垂直,注意到为的中点,且,则,再找一条直线与垂直即可,由已知底面,既得,可证平面,即可,由已知,这样平面,从而,问题得证.(2)求与平面成角的正弦值,求线面角,即求线和射影所成的角,本题找射影相对困难,可用向量法,首先建立空间坐标系,先找三条两两垂直的直线作为坐标轴,在平面中,过点作因为 平面,所以 平面,由 底面,得,,两两垂直,这样以为原点,,,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,求出平面的一个法向量,利用线面角的正弦值等于线和法向量的夹角的余弦值即可求出与平面成角的正弦值;(3)求实数的值,由于点在线段上,且平面,由,求出的坐标,再求出平面的一个法向量,利用线面平行,既线和法向量垂直,即线对应的向量和法向量数量积等于零,即可求出的值.
(1)因为 底面,底面,所以 , 1分
又因为 , , 所以 平面, 2分
又因为 平面,所以 . 3分
因为 是中点,
所以 ,又因为 ,所以 平面. 5分
(2)在平面中,过点作因为 平面
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(13分)(2011•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
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(2011•湖北)如图,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合.
(1)当CF=1时,求证:EF⊥A1C;
(2)设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ,求tanθ的最小值.
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如图,在四棱锥A—BCC1B1中,等边三角形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直,D为CC1的中点.
(1)求证:BD⊥AB1;
(2)求二面角B—AD—B1的余弦值.
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如图,四棱锥P -ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E 为侧棱PD的中点。
(1)证明:PB//平面EAC;
(2)若AD="2AB=2," 求直线PB与平面ABCD所成角的正切值;
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(本小题满分14分)
如图,在三棱柱中,底面,,E、F分别是棱的中点.
(1)求证:AB⊥平面AA1 C1C;
(2)若线段上的点满足平面//平面,试确定点的位置,并说明理由;
(3)证明:⊥A1C.
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