Question

若关于x的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁≤0≤x₂≤1，则a²+b²+4a的最小值和最大值分别为（　　）

• A、

  1

  2

  和5+4

  5

• B、-

  7

  2

  和5+4

  5

• C、-

  7

  2

  和12
• D、-

  1

  2

  和15-4

  5

Answer 1

分析：由题设条件，令f（x）=x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1，由关于的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁≤0≤x₂≤1，可得f（0）≤0，f（1）≥0，由此得出a，b所满足的关系，再求a²+b²+4a的最小值和最大值，选出正确选项

解答：解：令f（x）=x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1，函数开口向上，又关于的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁≤0≤x₂≤1，
得

f(0)≤0 f(1)≥0

，即a²+b²+2a-4b+1≤0且a+b+1≥0
即（a+1）²+（b-2）²≤4且a+b+1≥0
表示以（-1，2）为圆心，半径小于等于2的圆平面与a+b+1=0右上部分平面区域的重叠部分
又a²+b²+4a=（a+2）²+b²-4
只要在满足条件区域中求点（a，b）到点（-2，0）距离最大最小即可
1）求最小
最小值为（-2，0）到a+b+1=0距离的平方减去4，得-

7

2

2）求最大
最大值为（-2，0）与（-1，2）距离

5

原式最大=（

5

+2）²-4=5+4

5

故选B

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，解题的关键是掌握好一元二次方程根的分布及与系数的关系，利用二次函数的知识进行转化求出最大值与最小值