Question

设平面向量

a

=(m，1)，

b

=(2，n)．
（I）当m，n∈{-2，-1，1，2}时．记“

a

⊥

b

”为事件A，求事件A发生的概率；
（II）当m∈[-1，2]，n∈[-1，1]时，记“

a

与

b

所成角为钝角”为事件B，求事件B发生的概率．

Answer 1

分析：（1）首先求出有序数组（m，n）的所有可能结果，然后找出满足条件

a

•

b

=0的所有数组，运用古典概型求事件A发生的概率；
（2）根据cos＜

a

，

b

＞=

2m+n

m2+1 n2+4

知，

a

与

b

所成角为钝角，则2m+n＜0，除去使余弦值为-1的角，结合m∈[-1，2]，n∈[-1，1]求出m和n所满足的条件，运用几何概型求事件B发生的概率．

解答：解：（I）有序数组（m，n）的所有可能结果为：（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-2），（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-2），
（2，-1），（2，1），（2，2）共有16种．
使得

a

⊥

b

成立的（ m，n ），满足：2m+n=0，n=-2m
事件A有（-1，2），（1，-2）有2种．
故所求的概率为：p(A)=

2

16

=

1

8

．
（II）使得

a

与

b

所成角为钝角成立的（ m，n ）满足：2m+n＜0，且mn≠2．
Ω={(m，n)|

-1≤m≤2 -1≤n≤1

}，B={(m，n)|

-1≤m≤2 -1≤n≤1 2m+n＜0 mn≠2

}，区域如图所示，
∴P(B)=

1 2 ×( 1 2 + 3 2 )×2

3×2

=

1

3

．

点评：本题考查了运用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了古典概型和几何概型，考查了数学转化思想，注意（2）中的测度比是面积比，该题为中档难度的题型．