Question

某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	x1	π 12	x2	7π 12	x3
ωx+φ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（ωx+φ）+B	1	4	1	-2	1

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若

π

2

＜α＜π，f（

α

2

-

π

12

）=

17

5

，求f（α+

π

2

）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值

分析：解：（1）由题意可得

ω• π 12 +φ= π 2 ω• 7π 12 +φ= 3π 2

，即解得ω，φ的值，由

A+B=4 -A+B=-2

，即解得A，B的值，即可求得函数f（x）的解析式．
（2）由f（

α

2

-

π

12

）=

17

5

可化简得sin（α+

π

6

）=

4

5

；由f（α+

π

2

）=-6sin（α+

π

6

）•cos(α+

π

6

)+1，又α+

π

6

∈（

2π

3

，

7π

6

），可求得cos（α+

π

6

）=-

3

5

，从而由f（α+

π

6

）=-6sin（α+

π

6

）cos（α+

π

6

）+1即可求值．

解答： 解：（1）由题意可得

ω• π 12 +φ= π 2 ω• 7π 12 +φ= 3π 2

，
即

ω=2 φ= π 3

，…（2分）
由题意可得

A+B=4 -A+B=-2

，
即

A=3 B=1

，…（4分）
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=3sin（2x+

π

3

）+1，…（5分）
（2）由f（

α

2

-

π

12

）=

17

5

，
可得3sin[2（

α

2

-

π

12

）+

π

3

]+1=

17

5

，
化简得sin（α+

π

6

）=

4

5

，…（7分）
∵f（α+

π

2

）=3sin[2（α+

π

2

）+

π

3

]+1=3sin（2α+π+

π

3

）+1=-3sin（2α+

π

3

）+1=-6sin（α+

π

6

）•cos(α+

π

6

)+1，…（10分）
又∵α∈(

π

2

，π)，
∴α+

π

6

∈（

2π

3

，

7π

6

），
∴cos（α+

π

6

）=-

3

5

，…（11分）
∴f（α+

π

6

）=-6sin（α+

π

6

）cos（α+

π

6

）+1=-6×

4

5

×(-

3

5

)+1=

97

25

．…（12分）

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．