Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面正三角形的边长是2，D是CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角是45°．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

分析：（1）由几何体的结构特征与题中条件求出侧棱的长度，进而建立坐标系分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出二面角的平面角．
（2）由（1）得平面ABD的法向量

n

，再求出平面的一条斜线所在的向量

CA

，求出

CA

在法向量上的射影即可得到答案．

解答：解：（1）取BC的中点为O，连接OD，由正三棱柱的结构特征得OA⊥平面BCC₁B₁，且OA=

3

．
所以∠ADO是直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角，即∠ADO=45°．
所以OD=

3

．
所以侧棱的长为2

2

．
如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，

3

)，B（-1，0，0），C（1，0，0），D(1，

2

，0)
设

n

=(x，y，z)是平面ABD的一个法向量，
则由

n • AB =0 n • AD =0

得

n

=(

3

，-

6

，-1)
而

EA

=(0，0，

3

)是面BCD的一个法向量
∴cos＜

EA

•

n

＞=

EA • n

| EA |•| n |

=-

10

10

．
而所求二面角为锐角，即二面角A-BD-C的大小为arccos

10

10

（2）∵

CA

=(-1，0，

3

)
∴点C到面ABD的距离为d=

| CA • n |

| n |

=

30

5

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系进而利用空间向量解决空间中的空间角与空间距离问题．