Question

某高店代销某工厂生产的一种商品，利润按销售额的10%提成，经市场调查：若该商品以50元一个出售，则每月销售量1万个，若售价每提高2元，则销售量在上次的基础上下降三个百分点．设以售价为52元出售为第一次提价，以后每次提价都在原来的售价上提高2元．
（1）求第n次提价的月销售额a_n；
（2）要使商店的月利润最大，进行几次提价最好？

Answer 1

分析：（1）由题意知：第n次提价的单价为50+2n，n∈N^*，第n次提价的月销售量为1×（1-3%）ⁿ，n∈N^*，由此能求出第n次提价的月销售额a_n．
（2）月利润表示为：a_n•10%，要使得a_n•10%最大，只需a_n最大，则

an≥an+1 an≥an-1

，由此能求出结果．

解答：解：（1）由题意知：第n次提价的单价为
50+2n，n∈N^*，
第n次提价的月销售量为1×（1-3%）ⁿ，n∈N^*，
∴第n次提价的月销售额a_n=（50+2n）×（1-3%）ⁿ=（50+2n）（97%）ⁿ（万元）．
（2）月利润表示为：a_n•10%，
要使得a_n•10%最大，只需a_n最大，
则

an≥an+1 an≥an-1

，即

(50+2n)(97%)n≥(52+2n)(97%)n+1 (50+2n)(97%)n≥(48+2n)(97%)n-1

，
解得

22

3

≤n≤

25

3

，n∈N^*，
∴当n=8，即提价8次时月利润最大．

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．