Question

【题目】等差数列{an}的前n项和为Sn= （3n+5），正项等比数列{bn}中，b2=4，b1b7=256．
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn ， 求{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn= （3n+5），

∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= （3n+5）﹣ =3n+1，

当n=1时，a1= （3×1+5）=4也适合上式，

∴an=3n+1．

在正项等比数列{bn}中，b2=4，b1b7= =256，

∴b4=16，

∴其公比q2= =4，又q＞0，

∴q=2，

∴bn=b2qn﹣2﹣2=4×2n﹣2=2n．

（2）解：∵cn=anbn=（3n+1）2n，

∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=4×2+（3×2+1）×22+…+（3n+1）2n，①

2Tn=4×22+（3×2+1）×23+…+[3（n﹣1）+1）]2n+（3n+1）2n+1，②

①﹣②得：﹣Tn=4×2+3×22+…+3×2n﹣（3n+1）2n+1

=3（2+22+…+2n）+2﹣（3n+1）2n+1

=3× +2﹣（3n+1）2n+1

=（3﹣3n﹣1）2n+1﹣4．

∴Tn=（3n﹣2）2n+1+4．

【解析】（1）由Sn= （3n+5）可知，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+1，验证n=1时的情况即可求得数列{an}的通项公式；在正项等比数列{bn}中，由b2=4，b1b7= =256，可求得其公比q=2，从而可得数列{bn}的通项公式；求{an}与{bn的通项公式；（2）由cn=anbn=（3n+1）2n ， 可知Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=4×2+（3×2+1）×22+…+（3n+1）2n ， 利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn ．
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．