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    过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一个焦点F引直线l：y=
    b
    a
    x    的垂线FM，垂足为M，l交椭圆于P、Q两点，若
    PM
    =3
    MQ
    ，则该椭圆的离心率为
    2-
    		2
    2-
    		2
    ．
    分析：根据直线的斜率公式和解直角三角形，算出|OM|=
    ac
    		a2+b2
    ．由
    PM
    =3
    MQ
    得M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=
    2ac
    		a2+b2
    ．由线段垂直平分线定理，得|QF2|=|OF2|=c，结合椭圆的定义得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c，最后在△QF1F2中利用中线的性质，建立关于a、b、c的等式，化简整理得到离心率e的方程，解之即可得到所求离心率．
    解答：解：∵直线l的斜率k=
    b
    a

    Rt△OMF2中，tan∠MOF2=
    |MF2|
    |OM|
    =
    b
    a

    结合|OF2|=c，可得|OM|=
    ac
    		a2+b2

    ∵
    PM
    =3
    MQ
    ，
    ∴M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=
    2ac
    		a2+b2

    ∵MF2是OQ的垂直平分线，∴|QF2|=|OF2|=c
    连结QF1，由椭圆的定义可得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c
    ∵OQ是△QF1F2的中线
    ∴4|OQ|2+|F1F2|2=2（|QF1|2+|QF2|2）
    即4×
    4a2c2
    a2+b2
    +4c2=2[（2a-c）2+c2]，
    化简整理得e3-3e2-2e+2=0，即（e2-4e+2）（e+1）=0
    ∵e+1＞0，∴e2-4e+2=0，解之得e=2±
    		2

    ∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=2-
    		2

    故答案为：2-
    		2
    点评：本题给出椭圆满足的向量式，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与几何性质、向量的运算和解三角形等知识，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
    		2
    ，离心率e=
    2
    		2
    3
    ．过直线l：x=
    a2
    c
    上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
    （1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
    （2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
    		2
    ，0    ）；
    （3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•宁波模拟）已知：圆x2+y2=1过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    相交于A，B两点记λ=
    OA
    •
    OB
    ，且
    2
    3
    ≤λ≤
    3
    4
    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）求k的取值范围；
    （Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：圆x2+y2=1过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1相交于A，B两点记λ=
    OA
    •
    OB
    ，且
    2
    3
    ≤λ≤
    3
    4
    ，
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （如图）过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
    （1）求椭圆
    x2
    5
    +y2    =1的“左特征点”M的坐标．
    （2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左顶点A做圆x2+y2=b2的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y2=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则
    a
    b
    的值为
    1+
    		5
    2
    1+
    		5
    2
    ．

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