Question

已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数满足．

(Ⅰ)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意，都存在x₀∈(m，n)，使得等式成立．试用这一性质证明：方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根；

(Ⅲ)对任意f(x)∈M，且x∈(a，b)，求证：对于f(x)定义域中任意的x₁，x₂，x₃，当，且时，．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因为①当时，， 　　所以方程有实数根0； 　　②， 　　所以，满足条件； 　　由①②，函数是集合中的元素　　5分 　　(Ⅱ)假设方程存在两个实数根，， 　　则，． 　　不妨设，根据题意存在， 　　满足． 　　因为，，且，所以． 　　与已知矛盾．又有实数根， 　　所以方程有且只有一个实数根　　10分 　　(Ⅲ)当时，结论显然成立； 　　当，不妨设． 　　因为，且所以为增函数，那么． 　　又因为，所以函数为减函数， 　　所以． 　　所以，即． 　　因为，所以　(1) 　　又因为，所以　(2) 　　(1)(2)得即． 　　所以． 　　综上，对于任意符合条件的，总有成立　　14分