【题目】已知函数, .
(Ⅰ)若,求函数在的单调区间;
(Ⅱ)方程有3个不同的实根,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当时,若对于任意的,都存在,使得,求满足条件的正整数的取值的集合.
【答案】(Ⅰ)单调增区间为, 的单调减区间为
; (Ⅱ)当时,方程有三个不同的解,1, ; (Ⅲ).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)在时, ,求出导数,由不等式得增区间,由不等式得减区间;
(Ⅱ)方程,即为,有一根为,然后有或,这可根据的正负分类讨论确定;
(Ⅲ)当, 时, ,由导数得出函数在上是增函数,这样可得当时, ,当时, ,此时,因此只要,由此求出的范围,
而这还需用导数研究相应函数的单调性,才能得出结论.
试题解析:
(Ⅰ)当, 时, ,
从而 ,
,
的单调增区间为, 的单调减区间为
(Ⅱ)方程,即,即
所以当时,方程有两个不同的解, ;
当时,方程有三个不同的解,1, ;
当时,方程有两个不同的解,1.
综上,当时,方程有三个不同的解,1,
(Ⅲ)当, 时, , ,
所以函数在上是增函数,
且 .
所以当时, ,
当时,
所以,
因为对任意的,都存在,使得,
从而,
所以,即,即()
因为为单调递增,
且满足,而,不满足题意,所以时,均不满足题意,
所以满足条件的正整数的取值的集合为.
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【题目】在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ﹣ )= .
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
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【题目】某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.
整理评分数据,将分数以为组距分成组: , , , , , ,得到A餐厅分数的频率分布直方图,和B餐厅分数的频数分布表:
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 |
(Ⅰ)在抽样的100人中,求对A餐厅评价“满意度指数”为的人数;
(Ⅱ)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率;
(Ⅲ)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.
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【题目】已知集合A={1,2,3},集合B={x|a+1<x<6a﹣1},其中a∈R.
(1)写出集合A的所有真子集;
(2)若A∩B={3},求a的取值范围.
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【题目】某钢厂打算租用, 两种型号的火车车皮运输900吨钢材, , 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨,租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个,钢厂要求租车皮总数不超过21个,且型车皮不多于型车皮7个,分别用, 表示租用, 两种车皮的个数.
(Ⅰ)用, 列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)分别租用, 两种车皮的个数是多少时,才能使得租金最少?并求出此最小租金.
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【题目】在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC、CD上的点,且满足 = =λ.
(1)当λ= 时,求向量 和 夹角的余弦值;
(2)求 的取值范围.
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【题目】给出下列五个结论:
①在△ABC中,若sinA>sinB,则必有cosA<cosB;
②在△ABC中,若a,b,c成等比数列,则角B的取值范围为 ;
③等比数列{an}中,若a3=2,a7=8,则a5=±4;
④等差数列{an}的前n项和为Sn , S10<0且S11=0,满足Sn≥Sk对n∈N*恒成立,则正整数k构成集合为{5,6}
⑤若关于x的不等式(a2﹣1)x2﹣(a﹣1)x﹣1<0的解集为R,则a的取值范围为 .
其中正确结论的序号是 . (填上所有正确结论的序号).
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