Question

正方体ABCD-A^/B^/C^/D^/的棱长为8cm，M，N，P分别是AB，A^/D^/，BB^/棱的中点．
（1）画出过M，N，P三点的平面与平面A^/B^/C^/D^/及平面BB^/C^/C的交线，并说明画法的依据；
（2）设过M，N，P三点的平面与B^/C^/交于点Q，求PQ的长．

Answer 1

分析：（1）利用直线上的两个点在平面内，则直线在平面内；若一条直线在一个平面内又在另一个平面内，则直线是交线
（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出B′Q；据直角三角形的勾股定理求出PQ长．

解答：（本小题满分10分）
解：（1）如图，延长MP、A^/B^/相交于点E，连接NE，交B^/C^/于Q，
连接QP，则NE为平面MNP与平面A^/B^/C^/D^/的交线，PQ为平面MNP
与平面BB^/C^/C的交线；
理由：∵E∈直线MP，且E∈平面MNP，且E∈平面A′B′C′D′，
同理，N∈平面MNP，且N∈平面A′B′C′D′，所以，NE为平面MNP与平面A^/B^/C^/D^/的交线，
显然，PQ为平面MNP与平面BB^/C^/C的交线；（5分）
（2）由已知和（1）得MB=B^/E=4，又△EB′Q∽△EA′N，所以，B′Q=

4

3

，又B′P=4，
所以，PQ=

4 10

3

（5分）

点评：本题考查直线与平面的关系：直线上的两个点在平面内，直线在平面内；
相似三角形的对应边成比例、直角三角形的勾股定理．