Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E，F分别是PA，PB的中点．
（1）求证：PB⊥平面CDF；
（2）已知点M是AD的中点，点N是AC上一动点，当$\frac{CN}{AC}$为何值时，平面PDN∥平面BEM？

Answer 1

分析 （1）推导出DC⊥PC，DC⊥BC，从而DC⊥PB，再求出CF⊥PB，由此能证明PB⊥平面CDF．
（2）过点D作交BC于G，连接PG，当N是AC与DG的交点时，平面PDN∥平面BEM，由此能求出当$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{3}$时，平面PDN∥平面BEM．

解答 证明：（1）∵PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴DC⊥PC，DC⊥BC，又PC∩BC=C，∴DC⊥平面PBC，…（2分）
∴DC⊥PB．…（4分）
∵BC=PC，F为PB的中点，∴CF⊥PB．…（5分）
∵DC∩CF=C，∴PB⊥平面CDF．…（6分）
解：（2）过点D作交BC于G，连接PG，…（7分）
∵M是AD的中点，∴EM∥PD，…（8分）
∵PD∩DG=D，∴平面PDG∥平面BEM，…（9分）
∴当N是AC与DG的交点时，平面PDN∥平面BEM，…（10分）
∴在矩形ABCD中，由题意得$\frac{CN}{AC}=\frac{1}{3}$．
故当$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{3}$时，平面PDN∥平面BEM．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查满足面面平行的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．