对于正整数集合A={a1.a2.-.an}(n∈N*.n≥3).如果去掉其中任意一个元素ai之后.剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合.且这两个集合的所有元素之和相等.就称集合A为“和谐集．(Ⅰ)判断集合{1.2.3.4.5}是否是“和谐集 ,(Ⅱ)求证:若集合A是“和谐集 .则集合A中元素个数为奇数,(Ⅲ)若集合A是“� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．对于正整数集合A={a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a_i（i=1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．
（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．

分析（Ⅰ）根据定义，判断集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”；
（Ⅱ）判定a_i（i=1，2，…，n）的奇偶性相同，分类讨论，证明：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；
（Ⅲ）利用反证法思想进行证明．

解答解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．…（3分）
（Ⅱ）设集合A={a₁，a₂，…，a_n}所有元素之和为M．
由题可知，M-a_i（i=1，2，…，n）均为偶数，
因此a_i（i=1，2，…，n）的奇偶性相同．
（ⅰ）如果M为奇数，则a_i（i=1，2，…，n）也均为奇数，
由于M=a₁+a₂+…+a_n，所以n为奇数．
（ⅱ）如果M为偶数，则a_i（i=1，2，…，n）均为偶数，
此时设a_i=2b_i，则{b₁，b₂，…，b_n}也是“和谐集”．
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．
此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．
综上所述，集合A中元素个数为奇数．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素个数为奇数，
当n=3时，显然任意集合{a₁，a₂，a₃}不是“和谐集”．
当n=5时，不妨设a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，将集合{a₁，a₃，a₄，a₅}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a₁+a₅=a₃+a₄①，或者a₅=a₁+a₃+a₄②；将集合{a₂，a₃，a₄，a₅}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a₂+a₅=a₃+a₄③，或者a₅=a₂+a₃+a₄④．
由①、③，得a₁=a₂，矛盾；由①、④，得a₁=-a₂，矛盾；
由②、③，得a₁=-a₂，矛盾；由②、④，得a₁=a₂，矛盾．
因此当n=5时，集合A一定不是“和谐集”．
当n=7时，设A={1，3，5，7，9，11，13}，
因为3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
所以集合A={1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．
集合A中元素个数n的最小值是7．…（13分）

点评本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查反证法，难度大．

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