Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-φ＜）的图象如图所示，直线x=，x=是其两条对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a）=，且，求f（）的值．

Answer 1

（本题满分14分）
解：（1）由题意，=-=，∴T=π．
又ω＞0，故ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．（2分）
由f（）=2sin（+φ）=2，解得φ=2kπ-（k∈Z）．
又-＜φ＜，∴φ=-，∴f（x）=2sin（2x-）．（5分）
由2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z），知kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．（7分）
（2）解法1：依题意得2sin（2α-）=，即sin（2α-）=，（8分）
∵＜α＜，∴0＜2α-＜．
∴cos（2α-）=，（10分）
f（+α）=2sin[（2α-）+]．
∵sin[（2α-）+]=sin（2α-）cos+cos（2α-）sin=（+）=，
∴f（+α）=．（14分）
解法2：依题意得sin（2α-）=，得sin2α-cos2α=，①（9分）
∵＜α＜，∴0＜2α-＜，
∴cos（α-）=，（11分）
由cos（2α-）=得sin2α+cos2α=．②
①+②得2sin2α=，
∴f（+α）=．（14分）
分析：（1）求出函数的周期，求出ω，通过函数的图象经过的特殊点，求出φ，得到函数的解析式．
（2）解法1：利用f（a）=，求出sin（2α-）=，利用f（+α）=2sin[（2α-）+]然后求出值．
解法2：利用f（a）=，求出cos（2α-）=，求出sin2α，然后利用f（+α）=2sin[（2α-）+]
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数恒等变换的应用，考查计算能力．