Question

【题目】设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1 ， S2 ， S4成等比数列，a5=9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明： + +…+ ＜ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知 ．

设{an}的公差为d，则 ，

解得： ．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

故数列{an}的通项公式是an=2n﹣1．

（2）证明：由（1）知

当n=1时，左边= ，故原不等式显然成立．

当n≥2时，因为 ，

∴ ，

= ，

= ，

= ，

即 ．

综上所述， ．

【解析】（1）由等比中项可知及等差数列通项公式，即可求得{an}的首项和公差，即可写出数列{an}的通项公式；（2）根据等差数列的前n项和公式 ，当n=1， ，显然成立，当n≥2，采用放缩法及裂项法即可证明 + +…+ = ＜ ．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．