【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与
轴交点的横坐标为
.
(1)求;
(2)证明:当时,曲线
与直线
只有一个交点.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1),由导数的几何意义得
,故切线方程为
,将点
代入求
;(2)曲线
与直线
只有一个交点转化为函数
有且只有零点.一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点,从而判断函数大致图象,再说明与
轴只有一个交点.本题首先入手点为
,当
时,
,且
,
,所以
在
有唯一实根.只需说明当
时无根即可,因为
,故只需说明
,进而转化为求函数
的最小值问题处理.
(1),
.曲线
在点
处的切线方程为
.由题设得,
,所以
.
(2)由(1)得, .设
.由题设得
.当
时,
,
单调递增,
,
,所以
在
有唯一实根.当
时,令
,则
.
,
在
单调递减;在
单调递增.所以
.所以
在
没有实根,综上,
在
上有唯一实根,即曲线
与直线
只有一个交点.
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【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)化曲线的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)设曲线与
轴的一个交点的坐标为
,经过点
作斜率为1的直线,
交曲线
于
两点,求线段
的长.
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【题目】环境监测中心监测我市空气质量,每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制,保留一位小数),现随机抽取20天的指数(见下表),将指数不低于视为当天空气质量优良.
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空气质量指数 |
天数 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空气质量指数 |
(1)求从这20天随机抽取3天,至少有2天空气质量为优良的概率;
(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多),若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数,用表示抽到空气质量为优良的天数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】若数列和
的项数均为
,则将数列
和
的距离定义为
.
(1)求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离.
(2)记为满足递推关系
的所有数列
的集合,数列
和
为
中的两个元素,且项数均为
.若
,
,数列
和
的距离小于2016,求
的最大值.
(3)记是所有7项数列
(其中
,
或
)的集合,
,且
中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证:
中的元素个数小于或等于16.
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【题目】经国务院批复同意,重庆成功入围国家中心城市,某校学生社团针对“重庆的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分(满分100分),得到如图所示茎叶图:
(Ⅰ)计算女生打分的平均分,并用茎叶图的数字特征评价男生、女生打分谁更分散;
(Ⅱ)如图按照打分区间、
、
、
、
绘制的直方图中,求最高矩形的高
;
(Ⅲ)从打分在70分以下(不含70分)的同学中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
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【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线
的焦点
重合,且点
到直线
的距离为
,
与
的公共弦长为
.
(1)求椭圆的方程及点
的坐标;
(2)过点的直线
与
交于
两点,与
交于
两点,求
的取值范围.
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