Question

6．已知数列{a_n}中a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{n-1}{n+1}$a_n-1（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 通过a_n=$\frac{n-1}{n+1}$a_n-1（n≥2）可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，从而$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-3}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{n-1}{n+1}$a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{n-3}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$•a₁=$\frac{2}{n（n+1）}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．